Контрольная работа на тему Контрольная работа 150201-01

Контрольная работа

Тема 1. Математический анализ
Задание 1
1) Найти производные первого и второго порядков для заданной функции.
2)Исследовать функцию, построить график.


Решение:
Первая производная:


Вторая производная:


Исследование функции:
1)Область определения

2)Область значений

3)Функция является ни чётной, ни нечётной, т.к.

4) Найдем точки пересечения с осями:


Точка пересечения с осью Оу – (1;0)
Точка пересечения с осью Оx – (0; -1)
5)Найдем критические точки и интервалы монотонности функции. Вычислим производную и, приравняв к 0 найдем критические точки:




;

Корни не найдены, экстремумов у функции нет.
Функция возрастает на всей области определения, так как


6) Промежутки вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.


Перегибов у функции нет.
7) Найдем асимптоты:

, следовательно
- вертикальная асимптота

, следовательно
- горизонтальная асимптота
8) Построим график функции



Задание 2
1) Найти частные производные первого и второго порядка функции z(x,y).
2) Исследовать функцию на экстремум.
3).Исследовать функцию на условный экстремум при условии: х+у=1.


Частные производные первого порядка:

, аргумент y считается постоянным.

, аргумент х считается постоянным.
Частные производные второго порядка:








Исследование функции на экстремум
Решим систему двух уравнений:


Получаем:

. Подставляем полученный у в выражение для х, получаем х=-1.
Количество критических точек равно 1.
M(-1;-2) – стационарная точка.
Далее исследуем стационарную точку. Вычисляем
в стационарной точке. Поскольку
, то в стационарной точке экстремума нет.
3). Для исследования на условный экстремум из условия х+у=1 выразим у=1-х и, под