Контрольная работа на тему Контрольная работа 150303-15




самостоятельная работа

Вопрос 4
Характеристический многочлен. Собственное число квадратной-матрицы. Квадратичные формы и их приложения. Приведение квадратичной формы к диагональному виду.


Пусть дана квадратная матрица
порядка n.
Характеристической матрицей матрицы A называют матрицу

=
с переменной ?, принимающей любые числовые значения.
Определитель ?
=?
матрицы
является многочленом n-й степени от ?. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А, уравнение
=0 – её характеристическим уравнением, а его корни
– характеристическими корнями или характеристическими числами матрицы А.
Пусть дана квадратная матрица
порядка n и n-мерный вектор-столбец Х=
. Причём, элементы матрицы и вектора-столбца принадлежат одному и тому же полю Р, называемому основным. Произведение АХ также является n-мерным вектором-столбцом с элементами из поля Р. Среди всевозможных n-мерных векторов Х может оказаться такой, что АХ=?Х при некотором числовом множителе ? из поля Р.
Собственным вектором линейного преобразования
называется всякий ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию
, где
– число.
Число
называется собственным значением преобразования
, соответствующим данному собственному вектору Х.
Равенство АХ=?Х можно переписать в виде (А–?Е)Х=0, или что то же самое, в виде

(*)
Если известно собственное значение ?, то все собственные векторы матрицы А, принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения этой системы. С другой стороны, эта однородная система с квадратной матрицей А–?Е имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель
матрицы этой системы равен нулю и ? принадлежит рассматриваемому полю Р. Но это означает, что ? является корнем характеристического многочлена
и принадлежит полю Р. Таким образом, характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, и только они, являются её собственными значениями. Для отыскания всех собственных значений